Inductie matematica-help

Mai oameni buni ,toata stima si respectul pentru cine ma lamureste si pe mine in rezolvarea unui exercitiu:
Avem de calculat si demonstrat mai apoi prin inductie matematica urmatoarea suma:
1*2+2*3+3*4+4*5+....+n(n+1)=?
eu am despartit si am zis ca suma ar fi egala cu suma de la k=1 la n din k patrat + suma de la k=1 la n din k
asta ar insemna sa calculez sumele respective pe care noi dupa multe exrcitii le cam stim cu cat este egal si uneori le aplicam direct.Ei problema e ca eu nu pot acum sa le aplic direct pentru ca trebuiesc calculate:
1+2+3+...+n=?
si de asemenea trebuie calculata si suma patratelor numerelor din prima suma si apoi se afla rezultatul si se demonstreaza simplu si frumos prin inductie ca este adevarat..dar pana acolo trebuie mai intai sa aflu sumele alea nenorocite!!!
Sper sa fi inteles ce vreu.Imi cer scuze daca am fost ambigua si nu am incercat sa scriu exercitul mai intai in Word...problema e ca nu am instalat office-ul cum trebuie si nu mai am timp acum.
Oricum exercitiul din culegere suna exact cum l-am pus de la inceput iar mai jos eu am scris cam ce am facut din el!
Multumesc mult pentru cei care ma pot ajuta!
Rusine mie..ca probabil rezolvarea e banla si implica lucruri elementare,dar prefer sa ma fac de ras si sa aflu cum se rezolva decat sa nu dorm linistita!!!




"Copilul nu datoreaza parintilor viata ci cresterea"
Adina si bb Rares Costin

bebi spune:

Se noteaza:


P(K): 1+2+3+......+K

sE CALCULEAZA:

P(1): 1
P(2): 1+2=3
P(3): 1+2+3=5

Se observa ca suma este numar impar de forma k(k+1)/2

Se presupune P(K): 1+2+3+....+K=K(K+1)/2 ADEVARATA
Avem de demonstrat ca P(K+1): 1+2+3+....+k+(k+1)=(k+1)(k+2)/2 este adevarata

Dar,

P(K+1): P(K)+(K+1)=K(K+1)/2+(K+1)

P(K+1): 1+2+3+....+(K+1)=(K+1)(K+2)/2 , deci este adevata, rezulta ca si presupunerea initiala P(K) ESTE ADEVARATA


Daca se verifica pentru orice K apartinanad numerelor intregi, atumci se aplica pentru n valori intregi:

P(N): 1+2+3+.....+n=n(n+1)/2



Cred ca asta ar fi demonstratia. Sper sa nu fi gresit










Love is all around

mobriq spune:

suma patratelor :
http://www.cs.odu.edu/~toida/nerzic/content/induction/example2/example2.html

dar aici e greu de "ghicit" formula

Monica

liris spune:

Anisia,

"eu am despartit si am zis ca suma ar fi egala cu suma de la k=1 la n din k patrat + suma de la k=1 la n din k"

ai despartit bine, iar suma patratelor este rezolvata inductiv in site-ul mentionat(mobriq), iar suma de la 1 la n (bebi): deci formula finala ar fi : [n(n+1)(2n+1)]/6+[n(n+1)]/2


In final aduni formulele finale si zici :
ceea ce ma intrebati, sa numim f(n) relatia ceruta, are urmatoarea formula....[n(n+1)(2n+1)]/6+[n(n+1)]/2=[n(n+1)(n+2)]/3

f(n)=[n(n+1)(n+2)]/3

demonstratie:
ptr n=1 formula se verifica
ptr n=2 se verifica
presupunem ca formula se verifica ptr n (suma pina la n), atunci ptr n+1, inca adevarata?
daca suma se continua pina la n+1 atunci suma aceasta este formata din suma pina la n plus termenul [(n+1)(n+2)]
adica f(n+1)=f(n)+(n+1)(n+2)
=[n(n+1)(n+2)]/3)+(n+1)(n+2)=[(n+1)(n+2)(n+3)]/3


deci suma pina la n+1 este [n(n+1)(n+2)]/3+[(n+1)(n+2)]=[(n+1)(n+2)(n+3)]/3

qed

anisia spune:

fetelor eu una va multumesc mult pentru raspunsuri!
Ceea ce se demonstreaza pt suma de k de la 1 la n este usor si putem intui din sumele S1,S2 si S3 cam care ar fi rezultatul!
La a doua in schim nu este demonstrata in site-ul de mi la dat monica este data egalitatea si doar trebuie demonstrata prin inductie matematica ceea ce este foarte usor.Asta stiu si eu sa fac(macar atat).Problema e sa se calculeze.Sa o pricvim din punctul de vedere al unui elev de calasa a-9-a care nu stie cu cat sunt egale sumele respective si care nu stie si nici nu poate sa vada un rezultat de genul n(n+1)2n+1)/6 la sumade kla patrat de la 1la n.Asra este nelamurirea mea defapt.eu stiu cu cat sunt egale sumele...am lucrat cu ele si sunt sume des intalnite.Dar un elev de a noua abia s-a intalnit cu ele si trebuie sa le calculeze nu doar sa le demontreze.
Oricum va multumesc mult de tot!Imi mai bat eu capul....trebuie sa fie ceva mai logic...
pupici multi!

"Copilul nu datoreaza parintilor viata ci cresterea"
Adina si bb Rares Costin